Der Widerspruchsbeweis wurde ursprünglich verwendet, um die Irrationalität von Zahlen wie Wurzel aus 2, Wurzel aus 3 und so weiter zu beweisen. Platon berichtet im "Theaitetos", dass die Mathematiker die Irrationalität dieser Zahlen bis hin zu Wurzel 17 bewiesen hätten. Allerdings überliefert er nicht, wie sie das gemacht haben, noch, warum sie ausgerechnet bei Wurzel 17 aufgehört haben.

In seiner "Metaphysik" gibt Aristoteles einen Beweis für die Irrationalität von Wurzel 2, der seither klassisch geworden ist. Angenommen, Wurzel 2 sei rational, also als Quotient zweier natürlicher Zahlen ausdrückbar: Wurzel 2 = a / b, wobei a und b teilerfremd sind (gekürzter Bruch). Multipliziert man diese Gleichung mit b, so erhält man b * Wurzel 2 = a. Quadriert ergibt das 2b² = a². Also ist a² und damit a eine gerade Zahl: Es gibt eine natürlich Zahl p mit der Eigenschaft a = 2p. Eingesetzt liefert das 2b² = a² = (2p)² = 4p² und damit b² = 2p². Das bedeutet aber, dass b benfalls gerade ist. Somit hat man gezeigt, dass a und b beide gerade sind; folglich sind sie nicht teilerfremd. Also führt die Annahme, Wurzel 2 sei rational, zu einem Widerspruch, weshalb sie verworfen werden muss.

Spektrum der Wissenschaft SPEZIAL-ND 1/2003